Question

如图，等腰△ABC中，AB=BC，∠B=120°，M，N分别是AB，BC边上的中点．
（1）用尺规作图的方法，在AC上找一点P，使得MP+NP最短．（不用写作法，保留作图痕迹）
（2）若AC边上的高为1，求MP+NP的最短长度．

Answer 1

解：（1）如图1所示，点P即为所求．

（2）如图2所示，连接AM′，MP，BP
∵点M′和点M关于AC对称
∴MP=M′P，∠MPA=∠M′PA
又∵PA=PA
∴△MPA≌△M′PA
∴∠BAC=∠M′AC，AM=AM′
又∵AB=BC
∴∠BAC=∠C
∴∠M′AC=∠C
又∵M，N分别为AB，BC边上的中点
∴AM=NC
即：AM′=NC
又∵∠APM′=∠CPN
∴△APM′≌△CPN
∴AP=PC
∴BP为AC边上的高
又∵在Rt△ABP中，∠BAP=30°
∴BP=AB=MB
又∵∠ABP=60°．
∴△BMP为等边三角形
∴MP=BP=1
同理：NP=1
∴MP+NP的最短长度为2．
分析：（1）作点M关于AC的对称点M′，连接M′C交AC于点P，则点P即为所求点；
（2）连接AM′，MP，BP，则点M’和点M关于AC对称，根据对称的性质可得出△MPA≌△M’PA，由全等三角形的性质可判断出△BMP为等边三角形，再由等边三角形的性质即可解答．
点评：本题考查的是最短路线问题及全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、等边三角形的判定与性质，涉及面较广，难度适中．