【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,1)、D(-,0),作直线AD并以线段AD为一边向上作正方形ABCD.
(1)填空:点B的坐标为________,点C的坐标为_________.
(2)若正方形以每秒2个单位长度的速度沿射线DA向上平移,直至正方形的顶点C落在y轴上时停止运动.在运动过程中,设正方形落在y轴右侧部分的面积为S,求S关于平移时间t(秒)的函数关系式,并写出相应的自变量t的取值范围.
【答案】(1)B的坐标是(-1,1+),C的坐标是(-1-
,
);(2)S=2
t2,(0≤t≤
);S=2
-4x(
<t≤2);S=4-
(3-2x)2,(2<x≤2+
).
【解析】
试题分析:(1)BM⊥y轴于点M,作CN⊥x轴于点N,证明△ABM≌△DAO,△CDN≌△DAO即可求得;
(2)首先证明∠ADO=30°,则∠DAO=60°,然后分只有点A在y轴右侧时,当B和D分别位于y轴的左右两边时,点C和点D分别位于y轴的两侧时三种情况进行讨论,利用三角函数即可求解.
试题解析:(1)作BM⊥y轴于点M,作CN⊥x轴于点N.
∵正方形ABCD中,∠BAD=90°,
∴∠BAM+∠DAO=90°,
又∵直角△ABM中,∠BAM+∠MBA=90°,
∴∠MBA=∠DAO,
在△ABM和△DAO中,
,
∴△ABM≌△DAO,
∴BM=AO=1,AM=OD=,
则B的坐标是(-1,1+),
同理,△CDN≌△DAO,
DN=AO=1,CN=OD=,
则C的坐标是(-1-,
);
(2)∵OA=1,OD=,
∴tan∠ADO=,
∴∠ADO=30°,∠DAO=60°,
当只有点A在y轴右侧时,如图2,作AG⊥y轴于点G.
在直角△AEF中,AE=2t,∠AEF=30°,sin∠AEG=,即AG=AE
sin∠AEG=2x
=
x,当AG=1时,AE=
,
则AF=AE tan∠FEA=
AE=2
t,
则S=AE
AF=
×2t×2
t=2
t2,(0≤t≤
);
当B和D分别位于y轴的左右两边时,如图3,作AG⊥y轴于点G,作BH∥y轴,交AD于点H.
在直角△ABH中,∠ABH=30°,则AH=,
则S=S△ABH+S平行四边形BHEF=AB
AH+BH
(AG-1)=
×2×
-
(
x-1),
即S=2-4x(
<t≤2);
当点C和点D分别位于y轴的两侧时,如图4.
ED=2x-2,
在直角△EDG中,EG==4x-4,则FG=2-(4x-4)=6-4x,
在直角△CFG中,CF=FG sin∠AGF=
(6-4x)=3-2x,
CG=CF=
(3-2x),
则S△CFG=CF
CG=
(3-2x)2,
则S=4-S△CFG=4-(3-2x)2,(2<x≤2+
).
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【题目】下列分解因式正确的是( )
A.x3﹣x=x(x2﹣1)
B.x2﹣x+2=x(x﹣1)+2
C.x2+2x﹣1=(x﹣1)2
D.x2﹣1=(x+1)(x﹣1)
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【题目】中国科学家屠呦呦获得2015年诺贝尔生理学或医学奖,她研发的抗疟新药每年为110万婴幼儿免除了疟疾的危害.其中110万用科学记数法表示为( )
A. 11×103 B. 1.1×104 C. 1.1×106 D. 1.1×108
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【题目】据海关统计,2016年前7个月,我国进出口总值132100亿元人民币,将132100用科学记数法表示为( )
A. 1321×102 B. 0.1321×104 C. 1.321×105 D. 0.1321×106
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【题目】下列说法正确的是( )
A.平移不改变图形的形状和大小,而旋转则改变图形的形状和大小
B.在成中心对称的两个图形中,连结对称点的线段都被对称中心平分
C.在平面直角坐标系中,一点向右平移2个单位,纵坐标加2
D.在平移和旋转图形中,对应角相等,对应线段相等且平行
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【题目】青杠中学将九年级部分男生掷实心球的成绩进行整理,分成5个小组(x表示成绩,单位:米).组:5.25≤x<6.25;
组:6.25≤x<7.25;
组:7.25≤x<8.25;
组:8.25≤x<9.25;
组:9.25≤x<10.25,并绘制出扇形统计图如图1和频数分布直方图(不完整)如图2.规定x≥6.25为合格,x≥9.25为优秀.
(1)这部分男生共有__________人,其中成绩合格的有___________人;
(2)这部分男生成绩的中位数落在_______组,扇形统计图中D组对应的圆心角是_____度;
(3)要从成绩优秀的学生中,随机选出2人介绍经验,已知甲、乙两位同学的成绩均为优秀,求他俩至少有1人被选中的概率.
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【题目】如图,已知△ABC是等边三角形,D为边AC的中点,AE⊥EC,BD=EC.
(1)求证:△BDA≌△CEA;
(2)请判断△ADE是什么三角形,并说明理由.
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