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同学们,折纸中也有很大的学问呢.张老师出示了以下三个问题,小聪、小明、小慧分别在黑板上进行了板演,请你也解答这个问题:
在一张长方形ABCD纸片中,AB=25cm,AD=20cm,现将这张纸片按下列图示方法折叠,请解决下列问题.
(1)如图1,折痕为DE,点A的对应点F在CD上,则折痕DE的长为______;
(2)如图2,H,G分别为BC,AD的中点,A的对应点F在HG上,折痕为DE,求重叠部分的面积;
(3)如图3,在图2中,把长方形ABCD沿着HG对开,变成两张长方形纸片,将两张纸片任意叠合后,发现重叠部分是一个菱形,显然,这个菱形的周长最短是40cm,求叠合后周长最大的菱形的周长和面积.

解:(1)∵四边形ADFE是正方形,
∴DE===20cm;

(2)由折叠的性质可知,AD=DF,
∵GH分别是AD、BC的中点,
∴GD=AD=DF
∴在Rt△DGE中,∠GFD=30°,∠GDF=60°,
∵∠GDE=∠EDF,
∴∠EDA=30°.
∴在Rt△ADE中,tan∠EDA=
∴AE=AD•tan30°=
∴S△DEF=AE•AD=×20×=

(3)最大的菱形如图所示:
设GK=x,则HK=25-x,
x2=(25-x)2+102
解得x=
则菱形的周长为58cm,
此时菱形的面积S=×10=145.
分析:(1)根据图形折叠的性质可知AD=AE=20cm,再根据勾股定理即可得出结论;
(2)由折叠的性质可得到DG=AD=DE,再根据直角三角形的性质得出∠EDA=30°,由锐角三角函数的定义得到AE的长,利用三角形的面积公式即可得出结论;
(3)设GK=x,则HK=25-x,利用勾股定理即可求出x的值,进而可得出菱形的周长求出其面积.
点评:本题考查的是图形的翻折变换、菱形及矩形的性质、三角形的面积公式,熟知图形翻折变换的性质是解答此题的关键.
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(1)如图1,折痕为AE;
(2)如图2,P,Q分别为AB,CD的中点,折痕为AE;
(3)如图3,折痕为EF.
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