Question

已知双曲线y=与直线y=相交于A、B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线y=上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，﹣n）作NC∥x轴交双曲线y=于点E，交BD于点C．

（1）若点D坐标是（﹣8，0），求A、B两点坐标及k的值；

（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式；

（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求p﹣q的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）A（8，2） B（﹣8，﹣2）  16 （2） （3）-2

【解析】

试题分析：（1）将D的坐标可得B的横坐标，代入解析式可得B的坐标，又有A、B两点关于原点对称，易得k的值；

（2）根据题意B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上，可得BCD的坐标关于mn的表达式，进而可以表示出矩形的面积；代入数据可得答案；

（3）分别作AA₁⊥x轴，MM₁⊥x轴，垂足分别为A₁、M₁，设A点的横坐标为a，则B点的横坐标为﹣a，易得pq关于a的关系式，作p﹣q可得p﹣q=．

解：（1）∵D（﹣8，0），

∴B点的横坐标为﹣8，代入y=x中，得y=﹣2，

∴B点坐标为（﹣8，﹣2），

而A、B两点关于原点对称，∴A（8，2），

∴k=8×2=16；

（2）∵N（0，﹣n），B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上，

∴mn=k，B（﹣2m，﹣），C（﹣2m，﹣n），E（﹣m，﹣n），

∴S_矩形DCNO=2mn=2k，

∴S_△DBO=mn=k，

∴S_△OEN=，

∴S_{四边形OBCE}=S_矩形DCNO﹣S_△DBO﹣S_△OEN=k，

∴k=4，

由直线y=x及双曲线，得A（4，1），B（﹣4，﹣1），

∴C（﹣4，﹣2），M（2，2），

设直线CM的解析式是y=ax+b，

由C、M两点在这条直线上，得，

解得，

∴直线CM的解析式是；

（3）如图1，分别作AA₁⊥x轴，MM₁⊥x轴，垂足分别为A₁、M₁，

设A点的横坐标为a，则B点的横坐标为﹣a，

于是p=，

同理，

∴p﹣q=．

本题也可用相似求解，如图，酌情给分．

考点：反比例函数综合题．

点评：此题综合考查了反比例函数，正比例函数等多个知识点此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．