Question

（2009•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（-6，0），B（6，0），C（0，4），延长AC到点D，使CD=AC，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E．
（1）求D点的坐标；
（2）作C点关于直线DE的对称点F，分别连接DF、EF，若过B点的直线y=kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
（3）设G为y轴上一点，点P从直线y=kx+b与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短．（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）

Answer 1

【答案】分析：（1）借助△DMC∽△AOC，根据相似三角形的性质得点D的坐标；
（2）先说明四边形CDFE是菱形，且其对称中心为对角线的交点M，则点B与这一点的连线即为所求的直线，再结合全等三角形性质说明即可，由点B、M的坐标求得直线BM的解析式；
（3）过点A作MB的垂线，该垂线与y轴的交点即为所求的点G，再结合由OB、OM的长设法求出∠BAH，借助三角函数求出点G的坐标．
解答：解：（1）∵A（-6，0），C（0，4）
∴OA=6，OC=4
设DE与y轴交于点M
由DE∥AB可得△DMC∽△AOC
又∵CD=AC
∴
∴CM=2，MD=3
同理可得EM=3
∴OM=6
∴D点的坐标为（3，6）；

（2）由（1）可得点M的坐标为（0，6）
由DE∥AB，EM=MD
可得y轴所在直线是线段ED的垂直平分线
∴点C关于直线DE的对称点F在y轴上
∴ED与CF互相垂直平分
∴CD=DF=FE=EC
∴四边形CDFE为菱形，且点M为其对称中心
作直线BM，设BM与CD、EF分别交于点S、点T，
可证△FTM≌△CSM
∴FT=CS，
∵FE=CD，
∴TE=SD，
∵EC=DF，
∴TE+EC+CS+ST=SD+DF+FT+TS，
∴直线BM将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，
由点B（6，0），点M（0，6）在直线y=kx+b上，可得直线BM的解析式为y=-x+6．

（3）确定G点位置的方法：过A点作AH⊥BM于点H，则AH与y轴的交点为所求的G点
由OB=6，OM=6，
可得∠OBM=60°，
∴∠BAH=30°，
在Rt△OAG中，OG=AO•tan∠BAH=2，
∴G点的坐标为．（或G点的位置为线段OM的中点）
点评：本题综合考查了图形的性质和坐标的确定，是综合性较强，难度较大的综合题，其中本题第三问是难点，学生主要不会确定点G的位置．