Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于E，交BC于D．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）求证：△BEC∽△ADC；
（3）若CD=

3

，CE=1，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,圆周角定理

专题：计算题

分析：（1）由AB为圆的直径，利用直角所对的角为直角得到AD为BC上的高，根据三角形ABC为等腰三角形，利用三线合一即可得证；
（2）由同弧所对的圆周角相等，以及公共角相等，利用两角相等的三角形相似即可得证；
（3）由（2）的结论，利用相似三角形对应边成比例列出关系式，根据D为BC中点，且AB=AC，等量代换求出AB的长，即可求出圆的半径．

解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD是底边BC上的高，
又∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴D是BC的中点；
（2）证明：∵∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角，
∴∠CBE=∠CAD，
又∵∠BCE=∠ACD，
∴△BEC∽△ADC；
（3）解：由△BEC∽△ADC，得到

CD

AC

=

CE

BC

，即CD•BC=AC•CE，
∵D是BC的中点，
∴CD=

1

2

BC．
又∵AB=AC，
∴CD•BC=AC•CE=

1

2

BC•BC=AB•CE，即BC²=2AB•CE=12，
∴AB=6，
∴⊙O的半径为3．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．