Question

14．如图，直线y=$\frac{4}{3}$x+8与x轴分别交于A、B两点，过点C（4，0）作CD⊥AB，垂足为D，点P是直线AB上一动点
（1）求证：△ACD≌△ABO；
（2）求点D的坐标及直线CD的解析式；
（3）当△PAC为等腰三角形时，求点P坐标．

Answer 1

分析 （1）由直线AB解析式可求得A、B坐标，则可求得AB=AC，结合直角三角形，可证得△ACD≌△ABO；
（2）过D作DF⊥x轴于点F，由（1）可求得AD、CD的长，利用等积法可求得DF的长，即可求得D点纵坐标，代入直线AB解析式可求得D点坐标，由D、C两点坐标，利用待定系数法可求得直线CD解析式；
（3）可设P（x，$\frac{4}{3}$x+8），则可分别表示出PA、PC的长，分PA=PC、PA=AC和PC=AC三种情况，分别得到关于x的方程，可求得x的值，则可求得P点坐标．

解答 解：
（1）在y=$\frac{4}{3}$x+8中，令y=0可求得x=-6，令x=0可求得y=8，
∴A（-6，0），B（0，8），
∴OA=6，OB=8，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=10，
∵C（4，0），
∴OC=4，
∴AC=OA+OC=6+4=10=AB，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠AOB=90°，
在△ACD和△ABO中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠AOB}\\{∠DAC=∠OAB}\\{AC=AB}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△ABO（AAS）；
（2）过D作DF⊥x轴于点F，如图1，

由（1）可知△ACD≌△ABO，
∴AD=AO=6，CD=BO=8，
∵$\frac{1}{2}$AC•DF=$\frac{1}{2}$AD•CD，
∴10DF=6×8，解得DF=$\frac{24}{5}$，即D点的纵坐标为$\frac{24}{5}$，
在y=$\frac{4}{3}$x+8中，令y=$\frac{24}{5}$，可得$\frac{24}{5}$=$\frac{4}{3}$x+8，解得x=-$\frac{12}{5}$，
∴D（-$\frac{12}{5}$，$\frac{24}{5}$），且C（4，0），
设直线CD解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{-\frac{12}{5}k+b=\frac{24}{5}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线CD解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3；
（3）∵P是直线AB上一动点，
∴可设P（x，$\frac{4}{3}$x+8），且A（-6，0），C（4，0），
∴PA²=（x+6）²+（$\frac{4}{3}$x+8）²，PC²=（x-4）²+（$\frac{4}{3}$x+8）²，且AC²=100，
∵△PAC为等腰三角形，
∴有PA=PC、PA=AC和PC=AC三种情况，
①当PA=PC时，则PA²=PC²，即（x+6）²+（$\frac{4}{3}$x+8）²=（x-4）²+（$\frac{4}{3}$x+8）²，解得x=-1，此时P点坐标为（-1，$\frac{20}{3}$）；
②当PA=AC时，则PA²=AC²，即（x+6）²+（$\frac{4}{3}$x+8）²=100，解得x=0或x=-12，此时P点坐标为（0，8）或（-12，-8）；
③当PC=AC时，则PC²=AC²，即（x-4）²+（$\frac{4}{3}$x+8）²=100，解得x=-6（与A点重合，舍去）或x=$\frac{6}{5}$，此时P点坐标为（$\frac{6}{5}$，$\frac{48}{5}$）；
综上可知P点坐标为（-1，$\frac{20}{3}$）或（0，8）或（-12，-8）或（$\frac{6}{5}$，$\frac{48}{5}$）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及全等三角形的判定和性质、勾股定理、等积法、待定系数法、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得AB=AC是解题的关键，在（2）中求得D点坐标是解题的关键，在（3）中用P点坐标表示出PA、PC的长是解题的关键，注意分类讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．