Question

13．如图，点A（0，1），点B（-$\sqrt{3}$，0），作OA₁⊥AB，垂足为A₁，以OA₁为边作Rt△A₁OB₁，使∠A₁OB₁=90°，∠B₁=30°，作OA₂⊥A₁B₁，垂足为A₂，再以OA₂为边作Rt△A₂OB₂，使∠A₂OB₂=90°，∠B₂=30°，…，以同样的作法可得到Rt△A_nOB_n，则当n=2017时，点A₂₀₁₇的纵坐标为（　　）

• A． （$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²⁰¹⁷
• B． -（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²⁰¹⁷
• C． （$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²⁰¹⁸
• D． -（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²⁰¹⁸

Answer 1

分析 由每次旋转30°可知，点所在的射线以12为周期循环，所以A₂₀₁₇在射线OA₁上，故排除B、D，再找到三角形的变化规律即可解题．

解答 解：在Rt△AOB中，OA=1，OB=$\sqrt{3}$，
∴∠ABO=30°，
∵OA₁⊥AB，
∴A₁O=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∠AOA₁=30°，
可知每次逆时针旋转30°，点所在的射线以12为周期循环，
∵且每次旋转后，原三角形的高变新的直角边，
∴三角形依次减小，且相似比为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
2017÷12=168…余1，所以当n=2017时，点A₂₀₁₇的纵坐标与A1的纵坐标在同一条射线上，
且OA₂₀₁₇=${（\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2017}$，
过点A₁作A₁E⊥OB于E，
∴∠EA₁O=30°，
∴OE=$\frac{1}{2}$A₁O=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，A₁的纵坐标=A₁E=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA₁，
点A₂₀₁₇的纵坐标为$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA₂₀₁₇=${（\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2018}$，
故选C．

点评 本题考查了含30°直角三角形的性质，考查了相似三角形规律的发现，本题中根据相似比求OA₂₀₁₇的长是解题的关键．