Question

初三（04）班在一次答题活动中，签筒中有4根形状，大小相同的纸签，签里头分别写上了一个方程：
①x²-x=0；②（x-1）²-（2x-5）²=0；③x²+12x+36=0；④x²-3x-1=0．
（1）四个方程中有两个相等的实数根的方程是______（填番号即可），并解有两个相等的实数根方程；
（2）小明首先抽签，他看不到纸签上的方程的情况下，从签中随机地抽取一根纸签，那么他抽到两根均为正整数的方程的概率是______．

Answer 1

解：（1）①x²-x=0，
∵a=1，b=-1，c=0，
∴b²-4ac=（-1）²-4×1×0=1＞0，
则方程有两个不相等的实数根，
方程化为x（x-1）=0，
解得：x₁=0，x₂=1；
②（x-1）²-（2x-5）²=0，
整理为：x²-6x+8=0，
∵a=1，b=-6，c=8，
∴b²-4ac=（-6）²-4×1×8=4＞0，
则方程有两个不相等的实数根，
方程变形为：（x-1）²=（2x-5）²，
可化为x-1=2x-5或x-1=-（2x-5），
解得：x₁=2，x₂=4；
③x²+12x+36=0，
∵a=1，b=12，c=36，
∴b²-4ac=12²-4×1×36=0，
则方程有两个相等的实数根，
方程变形为（x+6）²=0，
解得：x₁=x₂=-6；
④x²-3x-1=0，
∵a=1，b=-3，c=-1，
∴b²-4ac=（-3）²-4×1×（-1）=13＞0，
则方程有两个不相等的实数根，
解得x=，
∴x₁=，x₂=；
四个方程中有两个相等的实数根的方程是③，其解如上所示；
（2）四个方程中两解都为正整数的方程为②，只有一个，
则抽到两根均为正整数的方程的概率P=．
故答案为：（1）③；（2）
分析：（1）找出四个方程中的二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出b²-4ac的值，即可得到有两个相等实数根的方程，求出此方程的解即可；
（2）方程①左边提取x，利用因式分解法求出解；方程②移项后根据两数平方相等，两数相等或互为相反数转化为两个一元一次方程来求解；方程③利用完全平方公式变形后，开方求出解；方程④利用公式法求出解，找出两解都为正整数的方程，即可求出所求的概率．
点评：此题考查了根的判别式，一元二次方程的解法，以及概率的计算，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b²-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b²-4ac＜0时，方程无解．