Question

7．如图，长方形ABCD中，AD=a，DC=b，（a，b为常数），∠CAB=30°，点P是对角线AC的中点，点Q是线段CD上的动点，则AQ+QP的最小值为$\sqrt{3}a$．

Answer 1

分析 根据图形和题意，作点P关于直线CD的对称点P′，然后根据两点之间线段最短，可以解答本题．

解答 解：作点P关于直线CD的对称点P′，如右图所示，
∵长方形ABCD中，AD=a，DC=b，（a，b为常数），∠CAB=30°，点P是对角线AC的中点，
∴AE=a+0.5a=1.5a，EP′=0.5b，tan30°=$\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴b=$\sqrt{3}a$，
∵两点之间线段最短，
∴AQ+QP的最小值就是线段AP′的长度，
∵∠AEP′=90°，EP′=0.5b，AE=1．a，
∴AP′=$\sqrt{（0.5b）^{2}+（1.5a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{9{a}^{2}+{b}^{2}}}{2}$=$\frac{\sqrt{9{a}^{2}+3{a}^{2}}}{2}=\frac{\sqrt{12{a}^{2}}}{2}=\frac{2\sqrt{3}a}{2}$=$\sqrt{3}a$，
故答案为：$\sqrt{3}a$．

点评 本题考查轴对称-最短路径问题、矩形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用勾股定理和锐角三角函数解答．