Question

19．如图，连接正五边形ABCDE的各条对角线围成一个新的五边形MNPQR．图中有很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．若AB=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则MN=$\sqrt{5}$-2．

Answer 1

分析 设MN=x．由题意可知DE=AB=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，由△DEM∽△CED，可得DE²=EM•EC，列出方程即可解决问题．

解答 解：设MN=x．由题意可知DE=AB=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∵∠EDM=∠ECD=36°，∠END=∠EDN=72°，
∴DE=EN，同理CD=CM，
∴EM=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$-x，EC=EN+CM-MN=$\sqrt{5}$-1-x，
∵∠DEM=∠DEC，
∴△DEM∽△CED，
∴DE²=EM•EC，
∴（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）²=（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$-x）（$\sqrt{5}$-1-x），
整理得x²-$\frac{3}{2}$（$\sqrt{5}$-1）x+$\frac{（\sqrt{5}-1）^{2}}{4}$=0，
∴[x-$\frac{3}{4}$（$\sqrt{5}$-1）]²=$\frac{5}{16}$（$\sqrt{5}$-1）²，
∴x=$\sqrt{5}$-2或$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$-1）不合题意舍弃，
∴MN=$\sqrt{5}$-2．
故答案为：$\sqrt{5}$-2．

点评 本题考查正五边形的性质、相似三角形的判定和性质．等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．