Question

两圆相交于A、B，过点A的直线交一个圆于点C，交另一个圆于点D，过CD的中点P和点B作直线交一个圆于点E，交另一个圆于点F，求证：PE=PF．

Answer 1

证明：连接DF，CE，AB，
∴∠D=∠B=∠C，
∵∠DPF=∠BPA，∠BPA=∠CPE，
∴△DPF∽△BPA，△PEC∽△PAB，
∴PF：PA=PD：PB，PE：PA=PC：PB，
∵P是CD的中点，
∴PC=PD，
∴PE=PF．
分析：首先连接DF，CE，AB，由圆周角定理可得∠D=∠B=∠C，易证得△DPF∽△BPA，△PEC∽△PAB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．