Question

（2013•娄底）已知：一元二次方程

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x²+kx+k-

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=0．
（1）求证：不论k为何实数时，此方程总有两个实数根；
（2）设k＜0，当二次函数y=

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x²+kx+k-

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的图象与x轴的两个交点A、B间的距离为4时，求此二次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为C，过y轴上一点M（0，m）作y轴的垂线l，当m为何值时，直线l与△ABC的外接圆有公共点？

Answer 1

分析：（1）根据一元二次方程的根的判别式△=b²-4ac的符号来判定已知方程的根的情况；
（2）利用根与系数的关系（|x_A-x_B|=

(xA+xB)2-4xAxB

=4）列出关于k的方程，通过解方程来求k的值；
（3）根据直线与圆的位置的位置关系确定m的取值范围．

解答：（1）证明：∵△=k²-4×

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×（k-

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）=k²-2k+1=（k-1）²≥0，
∴关于x的一元二次方程

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x²+kx+k-

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=0，不论k为何实数时，此方程总有两个实数根；

（2）令y=0，则

1

2

x²+kx+k-

1

2

=0．
∵x_A+x_B=-2k，x_A•x_B=2k-1，
∴|x_A-x_B|=

(xA+xB)2-4xAxB

=

4k2-8k+4

=2|k-1|=4，即|k-1|=2，
解得k=3（不合题意，舍去），或k=-1．
∴此二次函数的解析式是y=

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x²-x-

3

2

；

（3）由（2）知，抛物线的解析式是y=

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2

x²-x-

3

2

．
易求A（-1，0），B（3，0），C（1，-2），
∴AB=4，AC=2

2

，BC=2

2

．
显然AC²+BC²=AB²，得△ABC是等腰直角三角形．AB为斜边，
∴外接圆的直径为AB=4，
∴-2≤m≤2．

点评：本题综合考查了二次函数综合题，其中涉及到的知识点有：抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式以及直线与圆的关系，范围较广，难度较大．