Question

已知正方形ABCD,AC、BD交于O点，将一个三角板的直角顶点与O重合，它的两条直角边分别与AB、BC相交于点E、F.

（1）当三角板绕点O旋转到OE与AB垂直时（如图1），求证：BE+BF=OB.

（2）当三角板在（1）的条件下绕点O逆时针旋转a°（0°＜a＜45°）时，如图2,上述结论是否成立？若成立,请给予证明；若不成立请说明理由.

 

Answer 1

（1）∵ABCD是正方形，O为对角线AC、BD的交点，

∴OB=OC，OB⊥OC,BC=OB.

又∵OE⊥AB，OF⊥BC,

∴OE=OF

∴Rt△BOE≌Rt△COF

          ∴BE=CF

          ∴BE+BF=CF+BF=OB.

（2）BE+BF=OB仍然成立

         理由是：∵∠EOB+∠BOF=90°，∠COF+∠BOF=90°

                  ∴∠EOB=∠COF  

                  又OB=OC, ∠OBE=∠OCF=45°

                  ∴△BOE≌△COF   

                  ∴BE=CF

    ∴BE+BF=CF+BF=OB.