Question

如图，E、D分别是等边三角形ABC的AB、AC边上的点，且D为AC的中点，

AE

EB

=

1

3

，则和△AED（不包含△AED）相似的三角形有（　　）

• A、4个
• B、3个
• C、2个
• D、1个

Answer 1

分析：由于△ABC是等边三角形，那么∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC，根据

AE

EB

=

1

3

易求

AE

AB

=

1

4

，而D是AC中点，易得

AD

AB

=

1

2

，从而有

AD

AB

=

AE

AD

，结合∠A=∠A，可证△ADB∽△AED；同理易证△CDB∽△AED；再利用D是AC中点，△ABC是等边三角形，根据等腰三角形三线合一定理可求∠ADB=∠CDB=90°，∠ABD=∠CBD=30°，从而易求∠AED=90°，∠ADE=30°，∠BED=90°，那么可证△AED∽△DEB．

解答：解：如右图所示，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC，
∵

AE

BE

=

1

3

，
∴

AE

AB

=

1

4

，
又∵D是AC中点，
∴AD=

1

2

AC，
∴

AD

AB

=

1

2

，
∴

AE

AD

=

1

2

，
∵

AD

AB

=

AE

AD

，∠A=∠A，
∴△ADB∽△AED；
∵

CD

BC

=

1

2

，∠C=∠A，
∴△CDB∽△AED；
又∵D是AC中点，△ABC是等边三角形，
∴∠ADB=∠CDB=90°，∠ABD=∠CBD=30°，
∴∠AED=90°，∠ADE=30°，
∴∠BED=90°，
∴△AED∽△DEB．
故选B．

点评：本题考查了相似三角形的判定、等边三角形的性质、等腰三角形三线合一定理．注意相似三角形判定定理的灵活运用，解题的关键是计算AE：AD的值以及求∠ADB．