Question

6．已知△ABC中，∠A=30°，∠ABC=105°，AB=30cm，求：△ABC的面积（用根号表示）

Answer 1

分析 过B作BD⊥AC于D，则∠ADB=∠CDB=90°，求出BD=$\frac{1}{2}$AB=15，AD=AB×cos30°=15$\sqrt{3}$，∠ABD=60°，求出∠CBD=45°，求出CD=BD=15，求出AC，根据三角形的面积公式求出即可．

解答 解：过B作BD⊥AC于D，则∠ADB=∠CDB=90°，
∵∠A=30°，AB=30，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=15，AD=AB×cos30°=15$\sqrt{3}$，∠ABD=60°，
∵∠ABC=105°，
∴∠CBD=45°，
∴∠C=45°=∠CBD，
∴CD=BD=15，
∴AC=AD+CD=15$\sqrt{3}$+15，
∴△ABC的面积是$\frac{1}{2}$AC×BD=$\frac{1}{2}$×（15$\sqrt{3}$+15）×15=$\frac{225\sqrt{3}+225}{2}$，
即△ABC的面积是$\frac{225\sqrt{3}+225}{2}$．

点评 本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，含30度角的直角三角形的性质的应用，解此题的关键是能构造直角三角形，并进一步求出AC和高BD的长．