Question

如图，在△ABD中，∠A=∠B=30°，以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O交AB于C.

小题1:判断直线BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
小题2:连接CD，若CD=5，求AB的长.

Answer 1

小题1:直线BD与⊙O相切.
理由如下：如图，连接OD，
∵∠ODA=∠DAB=∠B=30°，
∴∠ODB=180°-∠ODA-∠DAB-∠B=180°-30°-30°-30°=90°，
即OD⊥BD，     ∴直线BD与⊙O相切.

小题1:由（1）知，∠ODA=∠DAB=30°，
∴∠DOB=∠ODA+∠DAB=60°，
又∵OC=OD，
∴△DOC是等边三角形，
∴OA=OD=CD=5.
又∵∠B=30°，∠ODB=90°，
∴OB=2OD=10.   ∴AB=OA+OB=5+10=15.

证出OD⊥BD，即可证明直线BD与⊙O相切。直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。