Question

如图，双曲线y=

k

x

与直线x=k相交于点P，过点P作PA⊥y轴于A，y轴上的点A₁、A₂、A₃…An的纵坐标是连续整数，分别过A₁、A₂…An作x轴的平行线于双曲线y=

k

x

（x＞0）及直线x=k分别交于点B₁、B₂，…Bn，C₁、C₂，…Cn．
（1）求A的坐标；
（2）求

C1B1

A1B1

及

C2B2

A2B2

的值；
（3）猜想

CnBn

AnBn

的值（直接写答案）．

Answer 1

分析：（1）由于点P为双曲线y=

k

x

与直线x=k的交点，则把x=k代入y=

k

x

，得y=1，得到A点坐标为（0，1）；
（2）利用点A₁、A₂、A₃…An的坐标是连续整数得到A₁（0，2），A₂（0，3），易得B₁（

k

2

，2），C₁（k，2），B₂（

k

3

，3），C₂（k，3），则得A₁B₁=

k

2

，B₁C₁=

k

2

，C₂B₂=

2k

3

，A₂B₂=

k

3

，
于是可计算出求

C1B1

A1B1

、

C2B2

A2B2

的值；
（3）先得到An的坐标为（0，n+1），则Bn的坐标（

k

n+1

，n+1），Cn的坐标为（k，n+1），所以AnBn=

k

n+1

，BnCn=k-

k

n+1

=

n

n+1

k，易得

CnBn

AnBn

的值．

解答：解：（1）把x=k代入y=

k

x

，得y=1，
∵PA⊥y轴于A，
∴A点坐标为（0，1）；

（2）∵A₁、A₂…An的坐标为连续整数，
∴A₁（0，2），A₂（0，3）．
∴B₁（

k

2

，2），C₁（k，2），B₂（

k

3

，3），C₂（k，3）．
∴A₁B₁=

k

2

，B₁C₁=

k

2

，C₂B₂=

2k

3

，A₂B₂=

k

3

，
∴

C1B1

A1B1

=1，

C2 B2

A 2B2

=2；

（3）

CnBn

AnBn

=n．

点评：本题考查了反比例函数综合题：点在函数图象上，则点的横纵坐标满足图象的解析式；平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等；平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等．