Question

如图，四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4．点P从A出发在线段AD上以1个单位/秒向点D运动，点Q同时从点C出发，以1个单位/秒的速度向点A运动，当点P到达点D时，点Q也随之停止运动．
（1）设△APQ的面积为S，点P的运行时间为t，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
（2）S的最大值是多少？
（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？

Answer 1

解：（1）在△ABC中，∵AB=3，BC=4，∠ABC=90°，
根据勾股定理得AC=5，
∴sin∠ACB=，
∴sin∠PAQ=，
过点Q作QM⊥AD于点M，
在Rt△AQM中，
∵AQ=5-t，
∴QM=AQsin∠PAQ=（5-t），
∴S=×t×（5-t），
即S=-t²+t（0＜t≤4），

（2）S=-（t²-5t+）+=-（t-）²+，
当t=时，△APQ的面积S取得最大值，为，

（3）△APQ是等腰三角形，
①当AP=AQ时，
t=5-t，
则t=，
②当PA=PQ时，作PE⊥AQ于E
∵cos∠OAQ=，则AE=t，
∴AQ=t，
∴t+t=5，
∴t=，
③当QA=QP时，作QF⊥AD于点F，
∴AF=（5-t），
∴（5-t）=t，
∴t=，
综上所述，当t=或t=或t=时，
△APQ是等腰三角形．
分析：（1）利用sin∠ACB=，得出sin∠PAQ=，即可得出QM=AQsin∠PAQ=（5-t），进而表示出△APQ的面积为S；
（2）利用二次函数最值求法运用配方法求出，得出最值；
（3）根据当AP=AQ时和当PA=PQ时当QA=QP时，分别得出t的值．
点评：此题主要考查了二次函数的最值问题以及等腰三角形的性质和锐角三角函数的定义等知识，等腰三角形的性质以及二次函数最值问题是中考中重点内容同学们应熟练掌握并应用．