Question

已知反比例函数y=

k

x

（k≠0）和一次函数y=-x+8．
（1）若一次函数和反函数的图象交于点（4，m），求m和k；
（2）k满足什么条件时，这两个函数图象有两个不同的交点；
（3）设（2）中的两个交点为A、B，试判断∠AOB是锐角还是钝角？

Answer 1

分析：（1）因为一次函数过（4，m）求m，再把求出的交点坐标代入反比例函数中求k；
（2）求交点问题，就是解联立而成的方程组得关于k的一元二次方程，运用根与系数关系解答；
（3）根据交点A、B的位置判断．

解答：解：（1）∵一次函数和反比例函数的图象交于点（4，m），∴有

m=-4k+8 m= k 4

，
解之得

m=4 k=16

，
∴m=4，k=16；

（2）若两个函数相交，则交点坐标满足方程组

y= k x (k≠0) y=-x+8

，
∴-x+8=

k

x

，
即x²-8x+k=0，
要使两个函数有两个不同的交点，则方程应有两个不相同的根，
也就是△＞0，
即（-8）²-4×1×k=64-4k＞0，
∴k＜16，
∴要使两个函数图象有两个不同交点，k应满足k＜16且k≠0；

（3）当0＜k＜16时，y=

k

x

的图象在第一、三象限，它与y=-x+8的两个交点都在第一象限内，这时∠AOB是锐角；

当k＜0时，y=

k

x

的图象在第二、四象限，它与y=-x+8的两个交点分别在第二、四象限，此时∠AOB是钝角．

点评：此题主要考查了反比例函数的图象和性质，也考查了方程组的解和图象交点坐标的关系．此题将函数与方程联系起来分类讨论，检查学生的综合知识水平．