Question

如图，直线PCD过圆心O，PA、PB分别切⊙O于A、B，∠APB=60°，PA=4，AB与PD相交于E．
（1）求弦AB的长；
（2）求阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）根据切线长定理可以得出∠APB=60°，△PAB为等边三角形，即可求出；
（2）由S_阴影=S_半圆O-S_△ADE，分别求出各部分的面积即可得出答案．

解答：解：（1）∵PA．PB与⊙O相切于A，B两点
∴PA=PB，
∵∠APB=60°，
∴△PAB为等边三角形，
∴AB=PA=4；

（2）连接AD，
∵PA，PB为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴OP平分∠APB，OP垂直平分AB，
∴∠APO=

1

2

∠APB=30°，
∴∠AOP=60°，
∵∠PAO=90°，
∴OA=

AP

3

=

4

3

=

4 3

3

，
∵AE=

1

2

AP=2，
∴AD=

3

AE=2

3

，
∴S_阴影=S_半圆O-S_△ADE
=

1

2

π×（

4 3

3

）²-

1

2

×2×2

3

，
=

8

3

π-2

3

．

点评：此题主要考查了切线长定理与扇形的面积公式等知识，求阴影部分面积不容易求出时，由特殊面积的差得出是常用方法．