Question

如图，点A（m，m+1），B（m+3，m-1）都在反比例函数的图象上．
（1）求m，k的值；
（2）求直线AB的函数表达式；
（3）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M，N的坐标．

Answer 1

解：（1）∵点A（m，m+1），B（m+3，m-1）都在反比例函数y=的图象上，
∴k=xy，
∴k=m（m+1）=（m+3）（m-1），
∴m²+m=m²+2m-3，
解得m=3，
∴k=3×4=12；

（2）∵m=3，
∴A（3，4），B（6，2），
设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
则，解得，
∴直线AB的解析式为：y=-x+6；

（3）作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥y轴于N，两线交于P，
∵由（1）知：A（3，4），B（6，2），
∴AP=PM=2，BP=PN=3，
∵四边形ANMB是平行四边形．
当M（-3，0）、N（0，-2）时，根据勾股定理能求出AM=BN，AB=MN，
即四边形AMNB是平行四边形，
∴此时M（3，0）、N（0，2）或M（-3，0）、N（0，-2）．
分析：（1）根据反比例函数解析式求得k=xy；然后利用反比例函数图象上点的坐标特征列出关于m的方程k=m（m+1）=（m+3）（m-1），从而求得k、m的值；
（2）利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；
（3）这样的平行四边形有2个：点M分别位于x轴的正负半轴上、点N分别位于y轴的正负半轴上．
点评：本题考查了反比例函数综合题，在解答（2）时，要注意进行分类讨论，以免漏解．