Question

某校八年级学生在数学综合实践活动中，老师出示了如图所示的一块直角边AC=30cm、BC=40cm的直角三角形余料，要求同学们在这块余料上截下一个正方形并且尽可能使所截的正方形的面积大，同学们在经过讨论后得出有如下两种截法，请你利用所学的知识，通过计算回答哪种方法更好？

Answer 1

分析：分别求出两种方法所截的正方形的边长：利用勾股定理可得到AB=50cm，
方法1：设正方形DEFG的边长为xcm，过C作高CH交DE于P，先利用面积法可求得CH的长，则CP=CH-PH=24-x，然后根据△CED∽△CBA，利用相似比建立关于x的方程

x

50

=

24-x

24

，解方程得到x的值；
方法2：设正方形DEFC的边长为ycm，易证△BEF∽△BAC，然后利用相似比建立关于x的方程

40-y

40

=

y

30

，解方程求出y；
最后比较x与y的大小即可判断哪种方法更好．

解答：解：方法1：过C作高CH交DE于P，如图，
设正方形DEFG的边长为xcm，
∵AC=30，BC=40，
∴AB=50，
∴CH=

CA•CB

AB

=

30×40

50

=24，
∴CP=CH-PH=24-x，
∵ED∥AB，
∴△CED∽△CBA，
∴

DE

AB

=

CP

CH

，即

x

50

=

24-x

24

，
解得x=

600

37

；

方法2：设正方形DEFC的边长为ycm，
FC=y，则BF=40-y，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴

BF

BC

=

EF

AC

，即

40-y

40

=

y

30

，
解得y=

120

7

，
∵y=

120

7

=

600

35

＞x=

600

37

．
∴按方法2所截的正方形的面积大．

点评：本题考查了三角形相似的应用：利用相似三角形的对应边的比相等建立等量关系，然后解方程．也考查了勾股定理以及正方形的性质．