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    问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，点D是射线CB上任意一点，△ADE是等边三角形，且点D在∠ACB的内部，连接BE．探究线段BE与DE之间的数量关系．请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．
    （1）当点D与点C重合时（如图2），请你补全图形．由∠BAC的度数为______，点E落在______，容易得出BE与DE之间的数量关系为______；
    （2）当点D在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE与DE之间的数量关系是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．

    【答案】分析：（1）根据题意画出图形，由直角三角形及等边三角形的性质即可得出结论；
    （2）根据题意画出图形，猜想：BE=DE，取AB的中点F，连接EF，由∠ACB=90°，∠ABC=30°，可知∠1=60°，CF=AF=AB，故△ACF是等边三角形，再由△ADE是等边三角形可得出∠CAD=∠FAE，由全等三角形的判定定理可知△ACD≌△AFE，故∠ACD=∠AFE=90°．由F是AB的中点，可知EF是AB的垂直平分线，
    进而可得出△ADE是等边三角形，故DE=AE，BE=DE．
    解答：解：（1）如图2，
    ∵∠C=90°，∠ABC=30°，
    ∴∠BAC=60°，
    ∵△ADE是等边三角形，
    ∴AE=CE，
    ∴点E落在AB的中点处；
    ∴AE=CE=BE=DE，
    故答案为：60°；AB的中点处；BE=DE；

    （2）如图3．
    猜想：BE=DE．
    证明：取AB的中点F，连接EF．
    ∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
    ∴∠1=60°，CF=AF=AB，
    ∴△ACF是等边三角形．
    ∴AC=AF   ①
    ∵△ADE是等边三角形，
    ∴∠2=60°，AD=AE   ②
    ∴∠1=∠2．
    ∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD．
    即∠CAD=∠FAE③
    由①②③得△ACD≌△AFE（SAS）． 
    ∴∠ACD=∠AFE=90°．
    ∵F是AB的中点，
    ∴EF是AB的垂直平分线，
    ∴BE=AE，
    ∵△ADE是等边三角形，
    ∴DE=AE，
    ∴BE=DE．
    点评：本题考查的是等边三角形的性质及直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
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    ①如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB＞AC，点D是BC边中点，过D作射线交AB于E，交CA延长线于F，请猜想∠F等于多少度时，BE=CF（直接写出结果，不必证明）；
    ②如图3，在△ABC中，如果∠BAC不是直角，而（1）中的其他条件不精英家教网变，若BE=CF的结论仍然成立，请写出△AEF必须满足的条件，并加以证明．

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    （1）当点D与点C重合时（如图2），请你补全图形．由∠BAC的度数为
    60°
    60°
    ，点E落在
    AB的中点处
    AB的中点处
    ，容易得出BE与DE之间的数量关系为
    BE=DE
    BE=DE
    ；
    （2）当点D在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE与DE之间的数量关系是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．

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