Question

10．设抛物线y₁=a（x-t）（x+t-2）（a≠0）与直线y₂=kx+b（b≠0）交于点（3，0），若函数y=y₁+y₂与x轴只有一个交点，则k与a的数量关系是（　　）

• A． k=4a
• B． k=-4a
• C． k=-$\frac{a}{4}$
• D． k=4a或k=-4a

Answer 1

分析 把（3，0）代入二次函数的解析式求得t的值，则二次函数的解析式即可求得，代入y₂=kx+b（b≠0）求得k和b的关系，则y即可利用a、k、b表示，然后根据函数y=y₁+y₂与x轴只有一个交点求得．

解答 解：把（3，0）代入抛物线y₁=a（x-t）（x+t-2）（a≠0）得a（3-t）（1+t）=0，
∵a≠0，
∴t=3或-1．
则y₁=a（x+1）（x-3），即y₁=ax²-2ax-3a，
把（3，0）代入y=kx+b得3k+b=0，即b=-3a．
函数y=y₁+y₂=ax²-2ax-3a+（kx+b）=ax²+（k-2a）x+（b-3a）．
则（k-2a）²-4a（b-3a）=k²+16a-4ak-4ab=k²+16a²-4ak+12ak=k²+16a²+8ak=（k+4a）²=0，
则k+4a=0，
则k=-4a．
故选B．

点评 本题考查了二次函数图象与x轴的交点的个数，根据求得t的值是解决本题的关键．