Question

某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为8米，以隧道底部宽AB所在直线为x轴，以AB垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线解析式为y=-x²+b．
（1）隧道底部宽AB是多少？
（2）若点D在抛物线上且D点的横坐标为2，求△ABD的面积S．

Answer 1

解：（1）∵隧道横截面的最大高度为8米，AB是底部宽，
∴AB=8米；

（2）∵AB垂直平分线为y轴，
∴OA=OB=AB=×8=4，
∴点B的坐标为（4，0），
代入抛物线得，-×4²+b=0，
解得b=8，
∴抛物线解析式为y=-x²+8，
当x=2时，y=-×2²+8=6，
∴点D的坐标为（2，6），
∴点D到AB的距离为6，
∴△ABD的面积S=×8×6=24．
分析：（1）根据隧道的底边宽度AB为最大宽度解答；
（2）根据y轴是AB的垂直平分线求出点B的坐标，然后代入抛物线解析式求出b的值，再把x=2代入求出点D的坐标，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
点评：本题考查了二次函数的应用，比较简单，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，比较简单．