Question

如图，在?ABCD中，AB=4，AD=6，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=．
（1）求AE的长；　
（2）求△CEF的周长和面积．

Answer 1

解：（1）∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE；
又∵AD∥BC，
∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，
∴AB=BE=4，
∵BG⊥AE，垂足为G，
∴AE=2AG．
在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=4，BG=2，
∴AG==2，
∴AE=2AG=4；

（2）∵BE=4，BC=AD=6，
∴CE=BC-BE=6-4=2，
∴BE：CE=4：2=2：1．
∵AB∥FC，
∴△ABE∽△FCE，
∴△ABE的周长：△CEF的周长=BE：CE=2：1，
△ABE的面积：△CEF的面积=（BE：CE）²=4：1，
∵AB=BE=4，AE=4，BG=2，
∴△ABE的周长=4+4+4=12，△ABE的面积=×4×2=4，
∴△CEF的周长=6，△CEF的面积=．
分析：（1）由于AE平分∠BAD，那么∠BAE=∠DAE，由AD∥BC，可得内错角∠DAE=∠BEA，等量代换后可证得AB=BE，即△ABE是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出AE=2AG，而在Rt△ABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的长；
（2）首先证明△ABE∽△FCE，再分别求出△ABE的周长和面积，然后根据相似比等于周长比，面积比等于相似比的平方即可得到答案．
点评：本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中．