Question

如图，在矩形ABCD中，已知AB=2，BC=3，点E为AD边上一动点（不与A、D重合），连接CE，作EF⊥CE交AB边于F
（1）求证：△AEF∽△DCE；
（2）当△ECF∽△AEF时，求AF的长；
（3）在点E的运动过程中，AD边上是否存在异于点E的点G，使△AGF∽△DCG成立？若存在，请猜想点G的位置，并给出证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°
又∵EF⊥CE，
∴∠AEF+∠CED=90°，
∴∠AFE=∠CED，
∴△AEF∽△DCE；

（2）∵△AEF∽△DCE，
∴AF：ED=EF：CE，
又∵△ECF∽△AEF，
∴EF：AF=CE：AE，即AF：AE=EF：CE，
∴AE=ED，
而AD=BC=3，
∴AE=ED=，
又∵△AEF∽△DCE，AB=DC=2，
∴AF：DE=AE：DC，即AF：=：2，
∴AF=；

（3）猜想：①当AE=DE，点G不存在；
②当AE≠DE，存在点G且AG=DE．证明如下：
如图，
∵△AEF∽△DCE，
∴AF：DE=AE：DC，
∵AG=DE，
∴DG=AE，
∴AF：AG=DG：DC，
而∠A=∠D=90°，
∴△AGF∽△DCG．
分析：（1）由矩形的性质得∠A=∠D=90°，则∠AEF+∠AFE=90°，由EF⊥CE，则∠AFE=∠CED，得到∠AFE=∠CED，根据三角形相似的判定即可得到结论；
（2）由△AEF∽△DCE，根据相似的性质得到AF：ED=EF：CE，同理由△ECF∽△AEF得EF：AF=CE：AE，即AF：AE=EF：CE，则AE=ED=；再由△AEF∽△DCE，得AF：DE=AE：DC，代值即可求出AF；
（3）讨论：①当AE=DE，点G不存在；②当AE≠DE，存在点G且AG=DE，由△AEF∽△DCE，得AF：DE=AE：DC，当AG=DE，则DG=AE，得到AF：AG=DG：DC，根据三角形相似的判定易得到△AGF∽△DCG．
点评：本题考查了三角形相似的判定与性质：有两组对应角相等的三角形相似；有两组对应边的比相等，且它们的夹角相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比相等．也考查了矩形的性质．