Question

已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，BD⊥DC，∠ABD=45°，∠ACD=30°，AD=CD=2，求AC和BD的长．

Answer 1

解：∵BD⊥DC，
∴∠BDC=90°，
∵∠ACD=30°，AD=CD=2，
∴∠DEC=60°，∠DAC=∠ACD=30°，
DE=CD•tan30°=2×=2，
∴EC=2DE=4，∠ADE=30°，
∴AE=DE=2，
∴AC=AE+EC=2+4=6，
过点A作AM⊥BD，垂足为M，
∵∠AEB=∠DEC=60°，
∴AM=AE•sin60°=2×=，
ME=AEcos60°=2×=1，
∵∠ABD=45°，
∴BM=AM=，
∴BBM+ME+DE=+1+2=3+．
分析：通过解直角三角形求出DE长，求出EVC，即可求出AC，过点A作AM⊥BD，垂足为M，求出AM，ME，即可求出BD．
点评：本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，解直角三角形的应用，主要考查学生的计算能力．