Question

如图，二次函数y=-x²+px+q的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3），顶点M在第一象限，∠ABC=30°．
（1）求点A、B的坐标和二次函数的关系式；
（2）设直线y=x-9与y轴的交点是D，在线段BC上任取一点E（不与B、C重合），经过A、B、E三点的圆交直线BD于点F，
①试判断△AEF的形状，并说明理由；
②设BF=m，m的取值范围是多少？（直接写出，无需过程）．

Answer 1

解：（1）∵图象与y轴交于点C（0，3），
∴CO=3，即q=3，
∵∠ABC=30°，
∴tan30°=，
∴BO=3，
∴B点坐标为：（3，0）
代入解析式得：0=-27+3p+3，
解得：p=，
∴二次函数的关系式为：y=-x²+x+3；
∴0=-x²+x+3；
解得：x₁=3，x₂=-；
∴A点坐标为：（-，0）；

（2）①△AEF是直角三角形，
理由：∵直线y=x-9与y轴的交点是D，
∴D点坐标为：（0，-9），
∵B点坐标为：（3，0），C（0，3），
∴∠ABC=30°，∠ABD=60°，
由圆周角定理可得出，∠AFE=∠ABC=30°，∠AEF=∠ABD=60°，
∴∠EAF=90°，
∴△AEF是直角三角形，
②∵最短时AF⊥BF，最长时BF为直径，
∴BF为直径，则2AB=BF=，
∵最短时AF⊥BF时，
∵AF⊥AE，BF⊥BC，
∴AE∥BF，AF∥BC，
∴AE=BF，E点与C点重合时，BF最短，AB为直径，
∴∠ACO=30°，
∴AE=2AO，
∴BF=AE=2AO=，
∴m的取值范围是：＜m＜．
分析：（1）利用图象以及得出∠ABC=30°，得出B点坐标，进而求出二次函数解析式即可；
（2）①结合已知画出图象，进而利用圆周角定理以及锐角三角函数知识求出即可；
②利用最短时AF⊥BF，以及最长时BF为直径，可据图分析求出取值范围即可．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及垂径定理和圆周角定理，根据已知得出∠AFE=∠ABC=30°，∠AEF=∠ABD=60°是解题关键．