Question

如图，己知正方形ABCD的边长为12，点P为CD边上的一个动点（点P与D、C不重合），AP的垂直平分线EF分别交AD、AP、BC于点F、H、E，交AB的延长线于点G．
（1）证明：△BGE∽△HAF；
（2）判断EF与AP是否相等，并给出证明；
（3）连AE，若△AEH的面积是△AFH面积的2倍，试求此时FG的长．

Answer 1

证明：（1）在正方形ABCD中，AF∥BE，∠GBE=GAF=90°，
∵AP的垂直平分线为EF，∴∠AHF=90°，
∴∠AHF=∠GBE，
又∵∠G+∠PAG=90°，∠HAF+∠PAG=90°，
∴∠G=∠HAF．
∴△BGE∽△HAF．

（2）EF=AP．
过E作EM⊥AD交AD于M，则四边形EMDC为矩形，
∴EM=CD=AD，
又∠EMD=90°，∠GAD=∠ADP=90°，
∴∠EMD=∠GAD=∠ADP，
∴GA∥EM．
∴∠FEM=∠G．
又由（1）△BGE∽△HAF，
∴∠FEM=∠G=∠DAP．
在△PDA和△FME中
∵，
∴△PDA≌△FME，∴EF=AP．

（3）由题意有：，∴EH=2FH．
∴．∴．
又在Rt△PDA和Rt△FHA中，
由tan∠HAF=，∴DP=8，
∴，
∴．同理．
∴cos∠FAH===，得AF=．
又在Rt△FAG中，
由，又sinG=sin∠PAD，
∴sinG===，
得FG=．
即试求此时FG的长为．


分析：（1）已知EF垂直平分AP可得∠AHF=∠GBE易证△BGE∽△HAF．
（2）做EM垂直AD，证明四边形EMDC为矩形，可得EM∥GA然后得证．
（3）本题要利用1，2问的答案利用三角函数进行解答．
点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等）的有关知识以及矩形的判定定理．有一定难度．