Question

（2006•临沂）附加题：
如图，PA为⊙O切线，A为切点，PBC为割线，∠APC的平分线交AB于点E，交AC于点F，点M为的中点．
求证：AM⊥PF．

Answer 1

【答案】分析：已知M是弧BC的中点，即∠BAM=∠FAM，因此可通过证△AEF是等腰三角形，从而根据等腰三角形三线合一的特点，可得出AM⊥PF的结论；∠AEF是△APE的外角，则∠AEF=∠APF+∠PAB；同理可得∠AFP=∠FPC+∠C；由弦切角定理知：∠PAB=∠C，由PF平分∠APC知：∠APF=∠CPF；故∠AEF=∠AFE，由此得证．
解答：证明：∵PF平分∠APC，
∴∠1=∠2，
又∵PA是⊙O的切线，
∴∠C=∠PAB．
∵∠AEF=∠1+∠PAB，∠AFE=∠2+∠C，
∴∠AEF=∠AFE，即AE=AF．
∵M是的中点，
∴∠BAM=∠CAM．
∴AM⊥PF．
点评：综合考查了三角形外角的性质、弦切角定理、圆周角定理的推论和等腰三角形的判定和性质．