Question

在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD，垂足为E．求证：AC=2BE．

Answer 1

证明：过点A作AF∥BC，交BD的延长线于点F，
∴∠F=∠DBC，∠FAD=∠C，
∵∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠C，
∴∠F=∠FAD=∠ABD，BD=CD，
∴AD=DF，AB=AF，
∵AE⊥BD，
∴BE=EF=BF，
∵AC=AD+CD=DF+BD=BF，
∴AC=2BE．
分析：首先过点A作AF∥BC，交BD的延长线于点F，由在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，易证得△ADF，△ABF，△DBC是等腰三角形，又由三线合一，可证得BF=2BE，即可证得AC=2BE．
点评：此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．