Question

（2013•合肥模拟）操作探究题：
（1）在平面直角坐标系x0y中，画出函数y=-2x²的图象；
（2）将抛物线y=-2x²怎样平移，使得平移后的抛物线满足：①过原点，②抛物线与x正半轴的另一个交点为Q，其顶点为P，且∠OPQ=90°；并写出抛物线的函数表达式；
（3）在上述直角坐标系中，以O为圆心，OP为半径画圆，交两坐标轴于A、B（A点在左边）两点，在抛物线（2）上是否存在一点M，使S_△MOA：S_△POB=2：1？若存在，求出M点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）取函数图象上的三个不同点，通过描点、连线进行作图即可．
（2）由于Q、O关于新抛物线的对称轴对称，即点P在线段OQ的垂直平分线上，首先能判断出的是△OPQ一定是等腰三角形，若∠OPQ=90°，那么该三角形一定是等腰直角三角形，若设P（a、a），那么Q（2a，0），利用待定系数法可确定该函数的解析式，进一步可判断出平移方案．
（3）首先求出P、A、B的坐标，则△MOA、△POB的面积可知，根据三角形的面积公式即可得到M点的纵坐标，代入（2）的抛物线解析式中，可得到M点的完整坐标（注意M可能在x轴的上方和下方）．

解答：解：（1）取（0，0）、（1，-2）、（-1，-2）三点，作图如下：


（2）由题意知：O、Q关于平移后的抛物线的对称轴对称，所以顶点P在OQ的垂直平分线上，即△OPQ是等腰三角形；
若∠OPQ=90°，那么△OPQ是等腰三角形，若设P（a，a），则Q（2a，0）；
设抛物线的解析式为：y=-2（x-a）²+a，由于抛物线经过Q（2a，0），则：
-2a²+a=0，得：a=

1

2

或a=0；
∴抛物线的解析式为：y=-2（x-

1

2

）²+

1

2

；
平移方案：先将抛物线y=-2x²向右平移

1

2

个单位，再向上平移

1

2

个单位．

（3）由题意知：S_△MOA=2S_△POB，且OP=OA=OB；
S_△OPB=

1

2

OB•|y_P|=

1

2

×OB×

1

2

；
S_△MOA=

1

2

OA•|y_M|=

1

2

×OA×|y_M|；
∴|y_M|=2|y_P|=1，
即M点纵坐标为：-1或1（利用P点坐标得出1不合题意舍去）．
由（2）得抛物线的解析式为：y=-2x²+2x，当y=-1时：
-2x²+2x=-1，
解得：x₁=

1+ 3

2

，x₂=

1- 3

2

；
∴存在符合条件的M点，且坐标为（

1+ 3

2

，-1）（

1- 3

2

，-1）．

点评：此题主要考查了函数解析式的确定及图象的画法、函数图象的平移、图形面积的解法等基础知识，利用数形结合得出是解题关键．