Question

（2013•平凉）如图，在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点E．
（1）若OC=5，AB=8，求tan∠BAC；
（2）若∠DAC=∠BAC，且点D在⊙O的外部，判断直线AD与⊙O的位置关系，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）根据垂径定理由半径OC垂直于弦AB，AE=

1

2

AB=4，再根据勾股定理计算出OE=3，则EC=2，然后在Rt△AEC中根据正切的定义可得到tan∠BAC的值；
（2）根据垂径定理得到AC弧=BC弧，再利用圆周角定理可得到∠AOC=2∠BAC，由于∠DAC=∠BAC，所以∠AOC=∠BAD，利用∠AOC+∠OAE=90°即可得到∠BAD+∠OAE=90°，然后根据切线的判定方法得AD为⊙O的切线．

解答：解：（1）∵半径OC垂直于弦AB，
∴AE=BE=

1

2

AB=4，
在Rt△OAE中，OA=5，AE=4，
∴OE=

OA2-AE2

=3，
∴EC=OC-OE=5-3=2，
在Rt△AEC中，AE=4，EC=2，
∴tan∠BAC=

EC

AE

=

2

4

=

1

2

；

（2）AD与⊙O相切．理由如下：
∵半径OC垂直于弦AB，
∵AC弧=BC弧，
∴∠AOC=2∠BAC，
∵∠DAC=∠BAC，
∴∠AOC=∠BAD，
∵∠AOC+∠OAE=90°，
∴∠BAD+∠OAE=90°，
∴OA⊥AD，
∴AD为⊙O的切线．

点评：本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了勾股定理以及垂径定理、圆周角定理．