Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（-2，0）、B（4，0）、C（0，4）三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）此抛物线有最大值还是最小值？请求出其最大或最小值；
（3）若点D（2，m）在此抛物线上，在y轴的正半轴上是否存在点P，使得△BDP是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将A（-2，0）、B（4，0）、C（0，4）代入y=ax²+bx+c，运用待定系数法即可求出此抛物线的解析式；
（2）由于二次项系数a=-

1

2

＜0，所以抛物线有最大值，最大值为

4ac-b2

4a

，代入计算即可；
（3）先将点D（2，m）代入（1）中所求的抛物线的解析式，求出m的值，得到点D的坐标，然后假设在y轴的正半轴上存在点P（0，y）（y＞0），使得△BDP是等腰三角形，再分三种情况进行讨论：①PB=PD；②BP=BD；③DP=DB；每一种情况都可以根据两点间的距离公式列出关于y的方程，解方程即可．

解答：解：（1）将A（-2，0）、B（4，0）、C（0，4）代入y=ax²+bx+c，得

4a-2b+c=0 16a+4b+c=0 c=4

，
解得

a=- 1 2 b=1 c=4

．
所以此抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+x+4；

（2）∵y=-

1

2

x²+x+4，a=-

1

2

＜0，
∴抛物线有最大值，最大值为

4×(- 1 2 )×4-12

4×(- 1 2 )

=

9

2

；

（3）∵点D（2，m）在抛物线y=-

1

2

x²+x+4上，
∴m=-

1

2

×2²+2+4=4，
∴D（2，4），
∵B（4，0），
∴BD=

(4-2)2+(0-4)2

=2

5

．
假设在y轴的正半轴上存在点P（0，y）（y＞0），使得△BDP是等腰三角形，分三种情况：
①如果PB=PD，那么4²+y²=2²+（y-4）²，解得y=

1

2

，
所以P₁（0，

1

2

）；
②如果BP=BD，那么4²+y²=20，解得y=±2（负值舍去），
所以P₂（0，2）；
③如果DP=DB，那么2²+（y-4）²=20，解得y=0或8，
y=0不合题意舍去，
y=8时，（0，8）与D，B三点共线，不合题意舍去，
所以P₃（0，8）；
综上可知，所有符合条件的P点的坐标为P₁（0，

1

2

），P₂（0，2）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的最值的求法，等腰三角形的性质等知识，难度适中．运用分类讨论、方程思想是解题的关键．