Question

2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E，F分别在AC，AB上，连接EF．
（1）在图1中，将△ABC的一个角∠A沿EF折叠，使A点落在AB边上的点D处，若S_{四边形ECBF}=3S_△EDF，求AE的长；
（2）在图2中，将△ABC的一个角∠A沿EF折叠，使A点落在BC边上的点M处，若MF∥CA．
①判断四边形AEMF的形状，并给出证明；②求AE的长．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质得：EF⊥AD，可知△AEF是直角三角形，根据同角的三角函数得：tan∠A=$\frac{EF}{AF}=\frac{BC}{AC}$=$\frac{3}{4}$，设EF=3x，AF=4x，根据已知和面积公式列式：S_△AEF=$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$•3x•4x=$\frac{3}{2}$，求得x的值，可得AE的长；
（2）①根据折叠的性质和平行线的性质可得：边形AEMF是菱形；
②由tan∠B=$\frac{FM}{BM}=\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$设FM=4x，BM=3x，则CM=3-3x，EM=AE=4x，根据勾股定理列方程得：（4x）²=（4-4x）²+（3-3x）²，求出x的值，求AE的长．

解答 解：（1）如图1，由折叠得：EF⊥AD，S_△AEF=S_△EFD，
∴tan∠A=$\frac{EF}{AF}=\frac{BC}{AC}$=$\frac{3}{4}$，
设EF=3x，AF=4x，则AE=5x，
∵S_{四边形ECBF}=3S_△EDF，
∴S_△ACB=4S_△AEF，
S_△ACB=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$×4×3=6，
∴4S_△AEF=6，
S_△AEF=$\frac{3}{2}$，
$\frac{1}{2}$•3x•4x=$\frac{3}{2}$，
x₁=-$\frac{1}{2}$（舍），x₂=$\frac{1}{2}$，
∴AE=5x=$\frac{5}{2}$；

（2）①如图2，四边形AEMF是菱形，理由是：
由折叠得：AE=EM，AF=FM，∠AEF=∠MEF，
∵FM∥AC，
∴∠AEF=∠MFE，
∴∠MFE=∠MEF，
∴EM=FM，
∴AE=EM=FM=AF，
∴四边形AEMF是菱形；
②∵FM∥AC，∠C=90°，
∴∠FMB=∠C=90°，
tan∠B=$\frac{FM}{BM}=\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$，
设FM=4x，BM=3x，则CM=3-3x，EM=AE=4x，
∴CE=4-4x，
在Rt△CEM中，EC²+CM²=EM²，
（4x）²=（4-4x）²+（3-3x）²，
9x²-50x+25=0，
（x-5）（9x-5）=0，
x₁=5（舍），x₂=$\frac{5}{9}$，
∴AE=4x=4×$\frac{5}{9}$=$\frac{20}{9}$．

点评 本题是四边形的综合题，考查了三角函数、三角形面积、菱形的性质和判定、勾股定理、一元二次方程的解法，本题利用三角函数的比设未知数，根据勾股定理列方程可解决问题．