Question

△ABC是边长为2的等边三角形，点P、Q分别是边AC与边BC上的两点，QC=2AP，设AP=x，△PQC的面积为S．
（1）直接写出S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当x为何值时，S有最大值，并求出最大值．

Answer 1

解：（1）过点A作AD⊥BC于点D，作P作PE⊥BC于点E，
∴PE∥AD，
∴，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴AD=AB•sin60°=，
∵AP=x，
∴PC=AC-AP=2-x，
∴，
解得：PE=-x，
∵QC=2AP=2x，
∴S=CQ•PE=×2x×（-x）=-x²+x=-（x-1）²+，
∴S与x之间的函数关系式为：y=-（x-1）²+；

（2）∵a=-＜0，
∴S有最大值，
∴当x=1时，S最大值为．
分析：（1）首先过点A作AD⊥BC于点D，作P作PE⊥BC于点E，根据平行线分线段成比例定理，即可求得PE的值，继而求得S与x之间的函数关系式；
（2）由a=-＜0，即可得当当x=1时，S最大值为．
点评：此题考查了二次函数的最值问题与平行线分线段成比例定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．