Question

已知，边长为5的正方形ABCO在如图所示的直角坐标系中，点M（t，0）为x轴上一动点，过A作直线MC的垂线交y轴于点N．
（1）当t=2时，求直线MC的解析式；
（2）设△AMN的面积为S，当S=3时，求t的值；
（3）取点P（1，y），如果存在以M、N、C、P为顶点的四边形是等腰梯形，当t＜0时，甲同学说：y与t应同时满足方程t²-yt-5=0和y²-2t²-10y+26=0；乙同学说：y与t应同时满足方程t²-yt-5=0和y²+8t-24=0，你认为谁的说法正确，并说明理由．再直接写出t＞0时满足题意的一个点P的坐标．

Answer 1

解：（1）∵边长为5的正方形ABCO在如图所示的直角坐标系中，
∴将x=0，y=5代入y=kx+b，解得b=5
∵点M（t，0）为x轴上一动点，过A作直线MC的垂线交y轴于点N，
∴将x=2，y=0代入y=kx+b，解得k=-．
∴当t=2时，直线MC的解析式为：；

（2）CM斜率k=，则AN斜率
设AD的解析式为：y=x+b，
∵过A（-5，0），
∴b=t，
∴N（0，t）
∴S=t²+t（t＞0）t=1，
S=-t²-t（-5＜t＜0）t=-2，t=-3，
S=t²+t（t＜-5）t=-6都正确；

（3）作PH⊥y轴，如图1：
∵四边形NPMC是等腰梯形，
∴∠PNH=∠MCO，
∵∠PHN=∠MOC=90°，
∴△PHN∽△MOC，
得，
所以t²-yt-5=0，满足PN∥CM，
由Rt△PCH得1+（y-5）²=2t²，
所以y²-2t²-10y+26=0，满足PC=MN，故甲正确；
直线x=1与x轴交于E，由Rt△PME得，
（5-t）²=y²+（1-t）²
所以y²+8t-24=0，满足PM=CN，故乙正确；
P（1，6）．
分析：（1）根据边长为5的正方形ABCO在如图所示的直角坐标系中，和点M（t，0）为x轴上一动点，分别求出k和b的值即可．
（2）分别根据t＞0，-5＜t＜0，t＜-5时，用t表示出△AMN的面积，解一元二次方程即可求出；
（3）作PH⊥y轴，则△PHN∽△MOC，由Rt△PCH得1+（y-5）²=2t²，可证甲正确；
由直线x=1与x轴交于E，由Rt△PME得，（5-t）²=y²+（1-t）²，可证乙正确．
点评：此题涉及到的知识点较多，综合性强，通过此类题目的练习，利用学生系统的掌握所学知识，是一道很典型的题目．