Question

3．一副三角板按如图方式摆放，得到△ABD和△BCD，其中∠ADB=∠BCD=90°，∠A=60°，∠CBD=45°，E为AB的中点，过点E作EF⊥CD于点F．若AD=4cm，则EF的长为（$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$）cm．

Answer 1

分析 过A作AG⊥DC于G，得到∠ADG=45°，进而得到AG的值，在30°的直角三角形ABD和45°直角三角形BCD中，计算出BD，CB的值．再由AG∥EF∥BC，E是AB的中点，得到F为CG的中点，最后由梯形中位线定理得到EF的长．

解答 解：过点A作AG⊥DC于G．

∵∠CDB=∠CBD=45°，∠ADB=90°，
∴∠ADG=45°．
∴AG=$\frac{AD}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∵∠ABD=30°，
∴BD=$\sqrt{3}$AD=4$\sqrt{3}$．
∵∠CBD=45°，
∴CB=$\frac{BD}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{6}$．
∵AG⊥CG，EF⊥CG，CB⊥CG，
∴AG∥EF∥BC．
又∵E是AB的中点，
∴F为CG的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$（AG+BC）=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$）=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$．
故答案为：（$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$）．

点评 本题主要考查的是梯形的中位线定理、特殊锐角三角函数值的应用，证得EF为梯形ABCG的中位线是解题的关键．