Question

如图①，正方形ABCD，矩形EFGH的中心P，Q都在直线l上，EF⊥l，AC=EF．正方形ABCD以1cm/s的速度沿直线l向矩形EFGH移动，当点C与HG的中点I重合时停止移动．设移动时间为xs时，这两个图形的重叠部分面积为y cm²，y与x的函数图象如图②，其中图象OM与MK是两段抛物线．根据图象解决下列问题．
（1）正方形ABCD的边长为

 

cm；FG=

 

cm；
（2）求m、n、p的值；
（3）x为何值时，重叠部分面积不小于7cm²．

Answer 1

考点：二次函数综合题,动点问题的函数图象

专题：压轴题

分析：（1）根据正方形的对角线相等可得AC=BD，然后根据图②判断出正方形的面积为8，再根据正方形的面积即可求出边长，根据题意，6秒时点A与点I重合，点A移动的距离等于FG的长度；
（2）根据m秒时重合部分是等腰直角三角形，P秒时点C刚好进入矩形EFGH，n秒时距离正方形全部移出还有面积3，然后求解即可；
（3）分两部分求出面积是7的时间，然后写出x的取值范围即可．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，
∵AC=EF，
∴BD=EF，
由图②可知，正方形的面积8，
∴正方形的边长=

8

=2

2

cm，
由图②知，重叠部分先是等腰直角三角形，再是正方形ABCD，最后是等腰直角三角形直至点C与点I重合，
6秒时点A与点I重合，
此时，FG=6cm；
故答案为：2

2

，6；

（2）∵p秒前重合部分是等腰直角三角形，
∴

1

2

×（2m）•m=3，
解得m=

3

，
p秒时，重合部分正好是正方形ABCD，
所以，

1

2

p²=8，
解得p=4，
∵正方形ABCD从开始移动到移出矩形的时间=（4+6）÷1=10，
∴n=10-

3

；

（3）重叠部分面积为7时，8-

1

2

×2（4-x）•（4-x）=7，
解得x=3，
或8-

1

2

×2（x-6）•（x-6）=7，
所以，3≤x≤7时，重叠部分面积不小于7cm²．

点评：本题是二次函数综合题型，动点问题函数图象，主要利用了正方形的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，读懂题目信息和图形，理清重合部分的三种情况是解题的关键．