Question

如图1，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，矩形AOCB的对角线OB所在的直线的解析式为，且0B=．
（1）求B点坐标．
（2）如图2，点M是OC中点，动点D在线段OM上运动（不与0、M两点重合），点E在边AB上，且AD=DE，点F在射线DE上，且AF=AD，设∠FAE=m°，∠OAD=n°，求出m与n之间的函数关系式，并直接写出自变量n的取值范围；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BF，若∠DFB=90°，求n的值．

Answer 1

解：（1）设点B的横坐标为x，
∵点B在直线y=x上，
∴点B的纵坐标为x，
在Rt△OBC中，OB²=OC²+BC²，
∴（4）²=x²+（x）²，
解得x=8，
x=×8=4，
所以，点B的坐标为（4，8）；

（2）如图2，过点D作DH⊥AB于H，则∠DHB=∠OAB=90°，
∴OA∥DH，
∴∠ADH=∠OAD=n°，
根据等腰三角形三线合一的性质，∠ADE=2∠ADH=2n°，
∵AD=AF，
∴∠F=∠ADE=2n°，
又∵∠DAF=∠DAH+∠FAE=90°-n°+m°，
∴在△ADF中，2n°+2n°+90°-n°+m°=180°，
整理得，m=-3n+90，
由-3n+90＞0得，n＜30，
∴m=-3n+90（0＜n＜30）；

（3）如图3，延长BF交y轴于T，过点A作AG⊥FT于G，作AK⊥DF于K，
∵∠DFB=90°，
∴∠ABT+∠BEF=90°，
又∵∠DAE=∠DEA=∠BEF=∠ATB，
∴∠ADH+∠BEF=90°，
∴∠ABT=∠ADH，
又∵∠AHD=∠BAT=90°，
∴△ABT∽△HDA，
∴===2，
∴AT=2AH，
根据三角形三线合一的性质，AE=2AH，
∴AT=AE，
∵在△ATG和△AEK中，
，
∴△ATG≌△AEK（AAS），
∴AG=AK，
∴AF为∠TFD的平分线，
∴∠AFD=∠ADF=×90°=45°，
2n=45°，
解得n=22.5°．
分析：（1）设点B的横坐标为x，根据直线解析式表示出点B的纵坐标，然后利用勾股定理列式计算即可得解；
（2）过点D作DH⊥AB于H，求出OA∥DH，根据两直线平行，内错角相等可得∠ADH=∠OAD，再根据等腰三角形三线合一的性质可得∠ADE=2∠ADH，根据等边对等角可得∠F=∠ADE，然后表示出∠DAF，再利用三角形内角和定理列式整理即可得解；
（3）延长BF交y轴于T，过点A作AG⊥FT于G，作AK⊥DF于K，求出∠ABT=∠ADH，然后判定△ABT和△HDA相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出AT=2AH，再根据等腰三角形三线合一的性质求出AE=2AH，从而得到AT=AE，然后利用“角角边”证明△ATG和△AEK全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=AK，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判定AF为∠TFD的平分线，求出∠AFD=∠ADF=45°，从而得解．
点评：本题是一次函数综合题型，主要考查了矩形的性质，勾股定理，等边对等角的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及角平分线的判定，综合性较强，难度较大，（3）作辅助线构造出相似三角形与全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．