Question

如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA=x．
（1）求证：△PFA∽△ABE；
（2）若以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似，试求x的值．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似；
（2）由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑：当∠PEF=∠EAB时，则得到四边形ABEP为矩形，从而求得x的值；当∠PEF=∠AEB时，再结合（1）中的结论，得到等腰△APE．再根据等腰三角形的三线合一得到F是AE的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，且∠ABE=90°，
∴∠PAF=∠AEB，
又∵PF⊥AE，
∴∠PFA=∠ABE=90°
∴△PFA∽△ABE；

（2）解：①当△EFP∽△ABE，且∠PEF=∠EAB时，
则有PE∥AB
∴四边形ABEP为矩形，
∴PA=EB=2，即x=2．
②当△PFE∽△ABE，且∠PEF=∠AEB时，
∵∠PAF=∠AEB
∴∠PEF=∠PAF，
∴PE=PA
∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点，
∵AE=

AB2+BE2

=

42+22

=

20

=2

5

∴EF=

1

2

AE=

5

由

PE

AE

=

EF

EB

，
即

PE

2 5

=

5

2

得PE=5，
即x=5
故满足条件的x的值为2或5．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质以及勾股定理的运用，解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．