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(2002•吉林)如图,已知矩形ABCD,以A为圆心,AD为半径的圆交AC、AB于M、E,CE的延长线交⊙A于F,CM=2,AB=4.(1)求⊙A的半径;(2)求CE的长和△AFC的面积.

【答案】分析:(1)先根据切割线定理求出CA的长,然后在Rt△ACD中,用勾股定理求出AB即⊙O的半径长;
(2)在Rt△BCE中,根据勾股定理,易求得CE的长;由切割线定理得CD2=CE•CF,由此可求出CF和EF的长;在△AFC中,已知底边CF的长,关键是求出CF边上的高;过A作AG⊥CF于G,通过相似三角形△AEG和△CEB得出的成比例线段可求出AG的长;由此可根据三角形的面积公式求得△AFC的面积.
解答:解:(1)四边形ABCD为矩形,AB=4;∴CD=4.
在Rt△ACD中,AC2=CD2+AD2
∴(2+AD)2=42+AD2
解得AD=3.

(2)过A点作AG⊥EF于G;
∵BC=3,BE=AB-AE=4-3=1.
∴CE===
由CE•CF=CD2,得:
CF===
又∵∠B=∠AGE=90°,∠BEC=∠GEA,
∴△BCE∽△GAE;
,即=
∴AG=
∴S△AFC=CF•AG=××=
点评:本题主要考查的是切割线定理、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识.
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