Question

（2012•平原县一模）如图，某小岛受到了污染，污染范围可以大致看成是以点O为圆心，AD长为直径的圆形区域，为了测量受污染的圆形区域的直径，在对应⊙O的切线BD（点D为切点）上选择相距300米的B、C两点，分别测得∠ABD=30°，∠ACD=60°，则直径AD是多少米？（结果精确到1米）

Answer 1

分析：方法一：根据假设CD=x，AC=2x，得出AD=

3

x，再利用解直角三角形求出x的值，进而得出AD的长度；
方法二：根据三角形的外角性质求出∠BAC=30°，从而得到∠B=∠BAC，根据等角对等边可得AC=BC，再求出∠CAD=30°，然后利用∠CAD的余弦值列式计算即可求出AD．

解答：解：方法一：∵BD是⊙O的切线，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=30°，∠ACD=60°，
∴设CD=x，则AC=2x，AD=

3

x，
tan∠ABD=

AD

BC+CD

=

3 x

300+x

，
∴

3

3

=

3 x

300+x

，
解得：x=150，
∴AD=

3

x=

3

×150≈260米；
方法二：∵∠ABD=30°，∠ACD=60°，
∴∠BAC=∠ACD-∠ABD=60°-30°=30°，
∴∠B=∠BAC，
∴AC=BC=300米，
∵BD是⊙O的切线，∠ACD=60°，
∴∠CAD=90°-∠ACD=90°-60°=30°，
在Rt△ACD中，AD=AC•cos∠CAD=300×

3

2

=150

3

≈260米．
答：直径AD长度为260米．

点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知设出CD=x，AC=2x，从而表示出AD，进而利用解直角三角形的知识解决是解决问题的关键．