Question

如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与点D重合，C点落在点M处．
（1）若AB=4，AD=8，试求出重合部分△EBF的面积；
（2）连接DF，判断四边形DFBE的形状，并说明理由．

Answer 1

解：（1）∵矩形ABCD沿EF折叠点B与点D重合，
∴BE=DE，BM=CD，∠EBM=∠ADC=90°，∠M=∠C=90°，
∵AB=CD，
∴AB=BM，
设BE=DE=x，则AE=AB-DE=8-x，
在Rt△ABE中，AB²+AE²=BE²，
即4²+（8-x）²=x²，
解得x=5，
∴BE=5，
∵∠ABE+∠EBF=∠ABC=90°，
∠MBF+∠EBF=∠EBM=90°，
∴∠ABE=∠MBF，
在△ABE和△MBF中，
，
∴△ABE≌△MBF（ASA），
∴BF=BE=5，
∴△EBF的面积=×5×4=10；

（2）四边形DFBE是菱形．
理由如下：由翻折的性质可得，DF=BF，
∴BE=DE=DF=BF，
∴四边形DFBE是菱形．
分析：（1）根据翻折的性质可得BE=DE，BM=CD，∠EBM=∠ADC=90°，设BE=DE=x，表示出AE=8-x，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列出方程求出x的值，即为BE的值，再根据同角的余角相等求出∠ABE=∠MBF，然后利用“角边角”证明△ABE和△MBF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=BE，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解；
（2）根据翻折的性质可得DF=BF，然后求出BE=DE=DF=BF，再根据四条边都相等的四边形是菱形解答．
点评：本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，四条边都相等的四边形是菱形，熟记翻折前后的图形能够重合得到相等的角与边是解题的关键．