Question

如图，半径为1的等圆⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，点C从点A出发，在⊙O₁，上逆时针运动；同时点F从点A出发，在⊙O₂上顺时针运动，两点的运动速度相同，⊙O₁的弦CB交⊙O₂于点D．
（1）求证：AD=AF；
（2）若O₁O₂=，射线CA交⊙O₂于点E，试探究CE与CB之间的数量关系．

Answer 1

解：（1）连接AB，BF，
∵C从点A出发，点F从点A出发，两点的运动速度相同，
∴=，
∵⊙O₁与⊙O₂是等圆，
∴∠ABC=∠ABF，
∴AD=AF；

（2）连接O₁B，O₂B，O₁C，O₂E，O₁O₂，BE，
∵⊙O₁与⊙O₂的弧AB相等，
∴∠C=∠E，
∴BC=BE，
 在△O₁BC和△O₂BE中，

∴△O₁BC≌△O₂BE（SSS），
∴∠O₁BC=∠O₂BE，∠CBE=∠O₁BO₂，
∵O₁O₂=，
O₁B=O₂B=1，
∴O₁O₂B为等腰直角三角形，
∴∠CBE=∠O₁BO₂=90°，
∴△CBE也为等腰直角三角形，
∴CE=BC．
分析：（1）连接AB，BF，得出=，再根据⊙O₁与⊙O₂是等圆，得出∠ABC=∠ABF，即可证出AD=AF；
（2）连接O₁B，O₂B，O₁C，O₂E，O₁O₂，BE，根据⊙O₁与⊙O₂的弧AB相等，得出∠C=∠E，BC=BE，再证出△O₁BC≌△O₂BE，得出∠O₁BC=∠O₂BE，∠CBE=∠O₁BO₂，再根据O₁O₂=，
O₁B=O₂B=1，得出O₁O₂B为等腰直角三角形，∠CBE=∠O₁BO₂=90°，从而证出△CBE也为等腰直角三角形，即可得出CE=BC．
点评：此题考查了圆的综合，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、圆的有关性质、等腰三角形的判定与性质，关键是作出辅助线，证出△CBE也为等腰直角三角形．