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    如图，直线AC∥BD，连结AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连结PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．(提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角．)

    (1)当动点P落在第①部分时，求证：∠APB＝∠PAC＋∠PBD；

    (2)当动点P落在第②部分时，∠APB＝∠PAC＋∠PBD是否成立(直接回答成立或不成立)？

    (3)当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．

    答案：
    解析：

    　　(1)解法一：如图1

    　　延长BP交直线AC于点E

    　　∵AC∥BD，∴∠PEA＝∠PBD．

    　　∵∠APB＝∠PAE＋∠PEA，

    　　∴∠APB＝∠PAC＋∠PBD．

    　　解法二：如图2

    　　过点P作FP∥AC，

    　　∴∠PAC＝∠APF．

    　　∵AC∥BD，∴FP∥BD．

    　　∴∠FPB＝∠PBD．

    　　∴∠APB＝∠APF＋∠FPB＝∠PAC＋∠PBD．

    　　解法三：如图3，

    　　∵AC∥BD，∴∠CAB＋∠ABD＝180°

    　　即∠PAC＋∠PAB＋∠PBA＋∠PBD＝180°．

    　　又∠APB＋∠PBA＋∠PAB＝180°，

    　　∴∠APB＝∠PAC＋∠PBD．

    　　(2)不成立．

    　　(3)(a)当动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD＝∠PAC＋∠APB．

    　　(b)当动点P在射线BA上，结论是∠PBD＝∠PAC＋∠APB．或∠PAC＝∠PBD＋∠APB或∠APB＝0°，∠PAC＝∠PBD(任写一个即可)．

    　　(c)当动点P在射线BA的左侧时，

    　　结论是∠PAC＝∠APB＋∠PBD．

    　　选择(a)证明：

    　　如图4，连接PA，连接PB交AC于M

    　　∵AC∥BD，

    　　∴∠PMC＝∠PBD．

    　　又∵∠PMC＝∠PAM＋∠APM，

    　　∴∠PBD＝∠PAC＋∠APB．

    　　选择(b)证明：如图5

    　　∵点P在射线BA上，∴∠APB＝0°．

    　　∵AC∥BD，∴∠PBD＝∠PAC．

    　　∴∠PBD＝∠PAC＋∠APB或∠PAC＝∠PBD＋∠APB或∠APB＝0°，∠PAC＝∠PBD．

    　　选择(c)证明：

    　　如图6，连接PA，连接PB交AC于F

    　　∵AC∥BD，∴∠PFA＝∠PBD．

    　　∵∠PAC＝∠APF＋∠PFA，

    　　∴∠PAC＝∠APB＋∠PBD．


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    （1）当动点P落在第②部分时，在图＜2＞中画出图形，写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系；
    （2）当动点P落在第③部分时，在图＜3＞、图＜4＞中画出图形，探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系，写出结论并选择其中一种情形加以证明．

    （1）当动点P落在第②部分时
    ∠APB=∠PAC+∠PBD
    ．
    （2）当动点P落在第③部分时（如图＜3＞）
    ∠PBD=∠APB+∠PAC
    ．
    当动点P落在第③部分时（如图＜4＞）
    ∠PAC=∠PBD+∠APB
    ．

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    （1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；
    （2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）
    （3）当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．

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    如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA、PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角． （提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°）
    （1）当动点P落在第①部分时，有∠APB=∠PAC+∠PBD，请说明理由；
    （2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？若不成立，试写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的等量关系（无需说明理由）；
    （3）当动点P在第③部分时，探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系，写出你发现的一个结论并加以说明．

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    （1）当动点P落在第①部分时，试说明∠APB=∠PAC+∠PBD；
    （2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）
    （3）当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以说明．

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