Question

2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．
（1）当t为何值时，PN⊥BC？
（2）连接MN，设△PMN的面积为（cm²），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使△PMN的面积是Rt△ABC面积的$\frac{1}{5}$？若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由；
（4）是否存在某一时刻t，使以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出相应的t值，并判断此时△PMN是否为Rt三角形；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5cm．根据相似三角形的性质得到结论；
（2）过点P作PH⊥BC于点H，作PF⊥AC于点F，则PH∥AC，PF∥BC．根据平行线分线段成比例定理得到PH=$\frac{8}{5}$t，同理BH=$\frac{6}{5}$t，于是求得PF=CH=3-$\frac{6}{5}t$，分别计算出S_△PBN，S_△APMS_△CMN根据三角形面积的和差即可得到y与t之间的函数关系式是  y=-$\frac{3}{10}{t}^{2}+\frac{3}{2}t$；
（3）假设存在某一时刻t，使△PMN的面积是Rt△ABC面积的$\frac{1}{5}$，列方程得到取t=1；
（4）以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：①△AMP∽△ABC；②△APM∽△ABC．列比例式求得t=$\frac{3}{2}$，此时CN=CM=$\frac{3}{2}$，过点P作PQ⊥BC于点Q，根据相似三角形的性质得到PQ=$\frac{12}{5}$，BQ=$\frac{9}{5}$，在△PMN中，PM²+MN²=$\frac{9}{4}+\frac{18}{4}=\frac{27}{4}$≠PN²，由勾股定理的逆定理可知，△PMN不是直角三角形．

解答 解：（1）如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．
∴根据勾股定理，得AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5cm．
当PN⊥BC时，Rt△PBN∽Rt△ABC
此时$\frac{BP}{BA}=\frac{BN}{BC}$，即$\frac{2t}{5}=\frac{3-t}{3}$，解得t=$\frac{15}{11}$，
答：当t=$\frac{15}{11}$s时，PN⊥BC；

（2）过点P作PH⊥BC于点H，作PF⊥AC于点F，则PH∥AC，PF∥BC．
∴$\frac{PH}{AC}=\frac{BP}{BA}$，即$\frac{PH}{4}=\frac{2t}{5}$，
∴PH=$\frac{8}{5}$t，
同理BH=$\frac{6}{5}$t，
∴PF=CH=3-$\frac{6}{5}t$，
S_△PBN=$\frac{1}{2}$（3-t）$\frac{8}{5}$t=$\frac{12}{5}t-\frac{4}{5}{t}^{2}$，
S_△APM=$\frac{1}{2}$（4-t）（3-$\frac{6}{5}t$）=$\frac{3}{5}{t}^{2}-\frac{39}{10}t+6$
S_△CMN=$\frac{1}{2}$•t•t=$\frac{1}{2}$t²，
∴y=S_△ABC-S_△PBN-S_△PAM-S_△CMN
=6-（$\frac{12}{5}t-\frac{4}{5}{t}^{2}$）-（$\frac{3}{5}{t}^{2}-\frac{39}{10}t+6$）-$\frac{1}{2}$t²
=-$\frac{3}{10}{t}^{2}+\frac{3}{2}t$，
答：y与t之间的函数关系式是  y=-$\frac{3}{10}{t}^{2}+\frac{3}{2}t$；
（3）假设存在某一时刻t，使△PMN的面积是Rt△ABC面积的$\frac{1}{5}$，
此时-$\frac{3}{10}{t}^{2}+\frac{3}{2}t$=$\frac{1}{5}$•6
解方程得t₁=1，t₂=4，
∵0＜t＜2.5，
∴t₂=4不合题意，舍去，取t=1₁，
答：当t=1时，△PMN的面积是Rt△ABC面积的$\frac{1}{5}$；

（4）以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：
①当△AMP∽△ABC时，$\frac{AP}{AC}=\frac{AM}{AB}$，即$\frac{5-2t}{4}=\frac{4-t}{5}$，
解得t=$\frac{3}{2}$；
②当△APM∽△ABC时，$\frac{AM}{AC}=\frac{AP}{AB}$，即$\frac{4-t}{4}=\frac{5-2t}{5}$，
解得t=0（不合题意，舍去）；
综上所述，当t=$\frac{3}{2}$时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似，
此时CN=CM=$\frac{3}{2}$，∴MN=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
AM=$\frac{5}{2}$，AP=2，PM=$\frac{3}{2}$，
过点P作PQ⊥BC于点Q，
由△PBQ∽△ABC，得PQ=$\frac{12}{5}$，BQ=$\frac{9}{5}$，
∴NQ=BQ-BN=$\frac{9}{5}$-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{10}$，
∴PN²=NQ²+PQ²=$\frac{585}{100}=\frac{117}{20}$，
在△PMN中，PM²+MN²=$\frac{9}{4}+\frac{18}{4}=\frac{27}{4}$≠PN²，
∴由勾股定理的逆定理可知，△PMN不是直角三角形．

点评 本题综合考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例，二次函数最值的求法以及三角形面积公式．利用相似三角形的对应边成比例解题时，务必找准对应边．