Question

如图，D是△ABC外角∠ACE的平分线上一点，DF⊥AC于F，DE⊥BC交延长线于E．
（1）求证：CE=CF；
（2）找一点D′，使得DFD′E是菱形，请你画出草图，并简要叙述D′的位置．

Answer 1

（1）证明：∵D是△ABC外角∠ACE的平分线上一点，DF⊥AC于F，DE⊥BC交延长线于E，
∴DF=DE．
∵DC=DC′，
∴△DFC≌△DEC．
∴CE=CF．

（2）解：连接EF交DC于点O，延长DC到D′，使OD′=DO．
∵△DFC≌△DEC，
∴∠FDC=∠EDC，
∴DC⊥EF，OE=OF．
∵DO=D′O，
∴四边形DFD’E是菱形．
分析：（1）由已知可得DF=DE．再利用HL判定△DFC≌△DEC，得到CE=CF；
（2）连接EF交DC于点O，延长DC到D′，使OD′=DO．
由△DFC≌△DEC得到∠FDC=∠EDC；根据等腰三角形的三线合一性质得到DC⊥EF，OE=OF；再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得到四边形DFD’E是菱形．
点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定及菱形的判定的理解及掌握．